Question

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AD=AB=1，AD⊥AB，∠BCD=45°，将△ABD沿对角线BD折起．设折起后点A的位置为A′，并且平面A′BD⊥平面BCD．给出下面四个命题：
①A′D⊥BC；
②三棱锥A′-BCD的体积为

2

2

；
③CD⊥平面A′BD；
④平面A′BC⊥平面A′DC．
其中正确命题的序号是（　　）

• A、①②
• B、③④
• C、①③
• D、②④

Answer 1

考点：棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：综合题,空间位置关系与距离

分析：由题意证出BD⊥DC，然后结合平面PBD⊥平面BCD利用线面垂直的性质定理得CD⊥平面PBD，从而可判断①③；
三棱锥A′-BCD的体积为

1

3

•

1

2

•

2

•

2

•

2

2

=

2

6

，可判断②；
利用折叠前四边形ABCD中的性质与数量关系，可证BD⊥CD，再利用折叠后BCD平面PBD⊥平面，可证CD⊥平面PBD，从而证明CD⊥PB，再证明PB⊥平面PDC，然后利用线面垂直证明面面垂直．

解答： 解：①∵∠BAD=90°，AD=AB，
∴∠ADB=∠ABD=45°，
∵AD∥BC，∠BCD=45°，
∴BD⊥DC，
∵平面A′BD⊥平面BCD，CD?平面BCD，
∴CD⊥平面A′BD，
∵A′D?平面A′BD，
∴CD⊥A′D，故A′D⊥BC不成立；故①错误；
②三棱锥A′-BCD的体积为

1

3

•

1

2

•

2

•

2

•

2

2

=

2

6

，故②不成立；
③由①知CD⊥平面A′BD，故③成立；
④折叠前，在四边形ABCD中，AD∥BC，AD=AB，∠BAD=90°，
∴△ABD为等腰直角三角形．
又∵∠BCD=45°，∠DBC=45°，
∴∠BDC=90°．
折叠后，∵平面BCD⊥平面A′BD，CD⊥BD，
∴CD⊥平面A′BD．
又∵A′B?平面A′BD，
∴CD⊥A′B．
又A′B⊥A′D，A′D∩CD=D，
∴A′B⊥平面A′DC．又A′B?平面A′BC，
∴平面A′BC⊥平面A′DC．故④正确．
故选：B．

点评：本题通过折叠性问题，考查了面面垂直的性质，面面垂直的判定，考查了体积的计算，关键是利用好直线与平面，平面与平面垂直关系的转化．