Question

14．倾斜角为60°的直线与椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）交于A，B两点，若$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{a}$=（4，-$\sqrt{3}$）共线，则椭圆的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 由题意可知，直线AB的斜率k=tan60°=$\sqrt{3}$，设直线AB的方程为y=$\sqrt{3}$x+m，代入椭圆方程，由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{2\sqrt{3}{a}^{2}m}{{b}^{2}+3{a}^{2}}$，则y₁+y₂=$\sqrt{3}$（x₁+x₂）+2m，$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{a}$=（4，-$\sqrt{3}$）共线，因此-$\sqrt{3}$（x₁+x₂）=4（y₁+y₂），整理得：5$\sqrt{3}$（x₁+x₂）+8m=0，将x₁+x₂=-$\frac{2\sqrt{3}{a}^{2}m}{{b}^{2}+3{a}^{2}}$代入求得3a²=4b²，由b²=a²-c²，求得a=2c，由椭圆的离心率公式可知：e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{2c}$=$\frac{1}{2}$．

解答 解：由题意，由题意可知：直线AB的斜率k=tan60°=$\sqrt{3}$，则设直线AB的方程为y=$\sqrt{3}$x+m，
则$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{3}x+m}\\{\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1}\end{array}\right.$，整理得（b²+3a²）x²+2$\sqrt{3}$a²mx+a²m²-a²b²=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韦达定理可知：x₁+x₂=-$\frac{2\sqrt{3}{a}^{2}m}{{b}^{2}+3{a}^{2}}$，则y₁+y₂=$\sqrt{3}$（x₁+x₂）+2m，
由$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$=（x₁+x₂，y₁+y₂），
∵$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{OB}$与$\overrightarrow{a}$=（4，-$\sqrt{3}$）共线，
∴-$\sqrt{3}$（x₁+x₂）=4（y₁+y₂），即4（y₁+y₂）+$\sqrt{3}$（x₁+x₂）=0，
∴4[$\sqrt{3}$（x₁+x₂）+2m]+$\sqrt{3}$（x₁+x₂）=0，
∴5$\sqrt{3}$（x₁+x₂）+8m=0，
∴5$\sqrt{3}$×（-$\frac{2\sqrt{3}{a}^{2}m}{{b}^{2}+3{a}^{2}}$）+8m=0，$\frac{15{a}^{2}}{{b}^{2}+3{a}^{2}}$=4，整理得：3a²=4b²，
由b²=a²-c²，
∴3a²=4（a²-c²），整理得：a²=4c²，
则a=2c，
由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{c}{2c}$=$\frac{1}{2}$，
∴椭圆的离心率$\frac{1}{2}$，
故选A．

点评 本题考查椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系，考查向量的共线定理，直线的斜率与倾斜角的关系及韦达定理的综合应用，考查计算能力，属于中档题．