Question

已知函数f（x）=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数，且f（

1

2

）=

2

5

（Ⅰ）求函数f（x）的解析式
（Ⅱ）用定义证明f（x）在（-1，1）上的增函数
（Ⅲ）解关于实数t的不等式f（t-1）+f（t）＜0．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数解析式的求解及常用方法,函数单调性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）首先利用函数在（-1，1）上有定义且为奇函数，所以f（0）=0，首先确定b的值，进一步利f(

1

2

)=

2

5

求出a的值，最后确定函数的解析式．
（Ⅱ）直接利用定义法证明函数的增减性．
（Ⅲ）根据以上两个结论进一步求出参数的取值范围．

解答： （Ⅰ）解：函数f（x）=

ax+b

1+x2

是定义在（-1，1）上的奇函数．
所以：f（0）=0
得到：b=0
由于且f（

1

2

）=

2

5

所以：

1 2 a

1+ 1 4

=

2

5

解得：a=1
所以：f(x)=

x

1+x2

（Ⅱ）证明：设-1＜x₁＜x₂＜1
则：f（x₂）-f（x₁）=

x2

1+x22

-

x1

1+x12

=

(x2-x1)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

由于：-1＜x₁＜x₂＜1
所以：0＜x₁x₂＜1
即：1-x₁x₂＞0
所以：

(x2-x1)(1-x1x2)

(1+x12)(1+x22)

＞0
则：f（x₂）-f（x₁）＞0
f（x）在（-1，1）上的增函数．
（Ⅲ）由于函数是奇函数，
所以：f（-x）=-f（x）
所以f（t-1）+f（t）＜0，转化成f（t-1）＜-f（t）=f（-t）．
则：

-1＜t-1＜1 -1＜t＜1 t-1＜-t

解得：0＜t＜

1

2

所以不等式的解集为：{t|0＜t＜

1

2

}

点评：本题考查的知识要点：奇函数的性质的应用，利用定义法证明函数的单调性，利用函数的奇偶性和单调星球参数的取值范围．属于基础题型．