Question

△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，下列命题正确的是

 

（写出正确命题的编号）．
①总存在某内角α，使cosα≥

1

2

；
②若AsinB＞BsinA，则B＞A；
③存在某钝角△ABC，有tanA+tanB+tanC＞0；
④若2a

BC

+b

CA

+c

AB

=

0

，则△ABC的最小角小于

π

6

．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：简易逻辑

分析：对于①，可先根据三角形内角和定理判断角α的范围，从而确定cosα的值域；
对于②，结合式子的特点，可构造函数y=

sinx

x

，研究其单调性解决问题；
对于③，利用内角和定理结合两角和的正切公式研究tanA+tanB+tanC的符号即可；
对于④，可以利用平面向量的运算方法将给的条件转化为三边a，b，c之间的关系，然后找到最小边，利用余弦定理求其余弦值，问题可获解决．

解答： 解：对于①，假设三个内角都大于60°，则三内角和必大于180°，与内角和定理矛盾，故必有一内角小于或等于60°，设为α，则cosα≥cos60°=

1

2

，故①为真命题；
对于②，由题意不妨令f(x)=

sinx

x

，x∈(0，

π

2

)，因为f′(x)=

xcosx-sinx

x2

，因为x∈(0，

π

2

)时，tanx＞x＞0，所以

sinx

cosx

＞x，所以xcosx-sinx＜0，所以f′（x）＜0，即f（x）在x∈(0，

π

2

)上为减函数，所以题意得AsinB＞BsinA即为

sinB

B

＞

sinA

A

，则应有B＜A，故②为假命题；
对于③，由题意不妨设C＞

π

2

，则A，B皆为锐角，且tanA＞0，tanB＞0，tanC＜0．又tanC=-tan(A+B)=-

tanA+tanB

1-tanA•tanB

，整理得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC＜0，故③为假命题；
对于④，由2a

BC

+b

CA

+c

AB

=

0

得2a

BC

+b

CA

+c(

AC

+

CB

)=（2a-c）

BC

+(b-c)

CA

=

0

，即(2a-c)

BC

=(c-b)

CA

，而

BC

，

CA

不共线，所以2a-c=0，b-c=0，解得c=2a，b=2a，则a是最小边，所以A为最小角，所以cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

4a2+4a2-a2

2•2a•2a

=

7

8

＞

3

2

，故A＜

π

6

，故④正确．
故答案为①④．

点评：本题以命题的真假判断为载体，考查了三角函数与解三角形、利用导数求函数的最值以及不等式的应用等知识，有一定难度．