Question

8．已知下列函数：
①y=x+$\frac{1}{x}$； ②y=1g$\frac{x+1}{x-1}$； ③y=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$）； ④y=sin（cosx）； ⑤f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+sinx，x≥0}\\{{x}^{2}+sinx，x＜0}\end{array}\right.$．
其中奇函数的个数共有（　　）

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 直接根据奇偶性的定义对各函数加以判断，注意要先确定函数的定义域，再判断奇偶性，且满足f（x）+f（-x）=0即为奇函数．

解答 解：利用奇偶性定义，对各函数判断如下：
①函数y=f（x）=$x+\frac{1}{x}$，定义域为{x|x≠0}，且f（-x）=-（$x+\frac{1}{x}$）=-f（x），
所以，f（x）为奇函数；
②函数y=f（x）=lg$\frac{x+1}{x-1}$，定义域为{x|x＞1，或x＜-1}，且f（-x）=lg$\frac{x-1}{x+1}$=-lg$\frac{x+1}{x-1}$=-f（x），
所以，f（x）为奇函数；
③函数y=f（x）=lg（x+$\sqrt{{x}^{2}+1}$），定义域为R，且f（-x）+f（-x）=lg1=0，
所以，f（x）为奇函数；
④函数y=f（x）=sin（cosx），定义域为R，且f（-x）=sin（cos（-x））=sin（cosx）=f（x），
所以，f（x）为偶函数；
⑤函数y=f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+sinx，x≥0}\\{{x}^{2}+sinx，x＜0}\end{array}\right.$，定义域为R，
且f（x）+f（-x）=（-x²+sinx）+[（-x）²+sin（-x）]=0，所以，f（x）为奇函数；
综合以上分析可知，函数①②③⑤为奇函数，
故答案为：C．

点评 本题主要考查了函数奇偶性的判断和证明，涉及函数定义域的确定，对数的运算性质，属于中档题．