Question

在等比数列{a_n}中，a₁+a_k=30，a₂a_k-1=81，且数列前k项的和S_k=39，则k=（　　）

• A、2
• B、3
• C、4
• D、5

Answer 1

考点：等比数列的前n项和

专题：等差数列与等比数列

分析：由题意可得a₁，a_k为方程x²-30x+81=0的两根，解方程可得

a1=3 ak=27

，或

a1=27 ak=3

，设等比数列{a_n}的公比为q，分别代入求和公式可得q，可得k值．

解答：解：由等比数列的性质可得a₁a_k=a₂a_k-1=81，
又a₁+a_k=30，∴a₁，a_k为方程x²-30x+81=0的两根，
解方程可得

a1=3 ak=27

，或

a1=27 ak=3

，
设等比数列{a_n}的公比为q，
当

a1=3 ak=27

时，S_k=

a1-akq

1-q

=

3-27q

1-q

=39，解得q=3，
∴a₁×3^k-1=a_k，即3×3^k-1=27，解得k=3；
当

a1=27 ak=3

时，S_k=

a1-akq

1-q

=

27-3q

1-q

=39，解得q=

1

3

，
∴a₁×(

1

3

)k-1=a_k，即

1

3

×(

1

3

)k-1=3，解得k=-1（舍去）
故选：B

点评：本题考查等比数列的求和公式，涉及一元二次方程根的求解以及分类讨论的思想，属中档题．