Question

以椭圆+y²=1(a>1)短轴的一个端点B(0,1)为直角顶点作椭圆的内接等腰直角三角形,问这样的直角三角形是否存在?如果存在,请说明理由,并判断最多能作出几个这样的三角形;如果不存在,请说明理由.

Answer 1

当1<a≤时,只能作出一个三角形;
当a>时,能作出三个三角形.

由题意可知直角边BA、BC不可能垂直或平行于x轴.
故可设BC边所在直线方程为y=kx+1(不妨设k<0),则BA边所在直线方程为y=-x+1.
由消去y,得
(1+a²k²)x²+2a²kx=0.
解之,得x₁=0,x₂=-.
∴|BC|=|x₁-x₂|=.
用-代替上式中的k得|AB|=.
由|BC|=|BA|,得|k|(a²+k²)=1+a²k².
注意到k<0,得(k+1)［k²+(a²-1)k+1］="0.                                         " ①
当Δ=(a²-1)²-4<0,即1<a<时,①有唯一解k=-1;
当a=时,①化为(k+1)³=0有唯一解k=-1;
当a>3时,①有三个不同的解.
综上所述:
当1<a≤时,只能作出一个三角形;
当a>时,能作出三个三角形.