Question

8．已知函数f（x）=x²+ax-lnx（a∈R，a为常数）
（1）当a=-1时，若方程f（x）=$\frac{b}{x}$有实根，求b的最小值；
（2）设F（x）=f（x）•e^-x，若F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把a=-1代入函数解析式，求导得到导函数的零点，求得原函数的最值，把f（x）=$\frac{b}{x}$转化为b=xf（x），则b的最小值可求；
（2）求出F′（x）=$\frac{-{x}^{2}+（2-a）x+a-\frac{1}{x}+lnx}{{e}^{x}}$．设h（x）=$-{x}^{2}+（2-a）x+a-\frac{1}{x}+lnx$，可得h′（x）≥2-a．然后分a≤2和a＞2研究F（x）在区间（0，1]上是否为单调函数，从而求得a的取值范围．

解答 解：（1）当a=-1时，f（x）=x²+x-lnx，
f′（x）=2x-1-$\frac{1}{x}$=$\frac{（x-1）（2x+1）}{x}$．
当x∈（0，1）时，f′（x）＜0，f（x）为减函数；当x∈（1，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）为增函数．
∴f（x）≥f（1）=0．
由f（x）=$\frac{b}{x}$，得b=xf（x），
又x＞0，∴b≥0．
即b的最小值为0；
（2）F（x）=f（x）•e^-x，
F′（x）=$\frac{-{x}^{2}+（2-a）x+a-\frac{1}{x}+lnx}{{e}^{x}}$．
设h（x）=$-{x}^{2}+（2-a）x+a-\frac{1}{x}+lnx$．
则h′（x）=-2x+$\frac{1}{{x}^{2}}+\frac{1}{x}+2-a$，可知h′（x）在（0，1]上为减函数．
从而h′（x）≥h′（1）=2-a．
①当2-a≥0，即a≤2时，h′（x）≥0，h（x）在区间（0，1]上为增函数，
∵h（1）=0，∴h（x）≤0在区间（0，1]上恒成立，即F′（x）≤0在区间（0，1]上恒成立．
∴F（x）在区间（0，1]上是减函数，故a≤2满足题意；
②当2-a＜0，即a＞2时，设函数h′（x）的唯一零点为x₀，则h（x）在（0，x₀）上单调递增，在（x₀，1）上单调递减．
又∵h（1）=0，∴h（x₀）＞0．
∴F（x）在（x₀，1）上单调递增，
∵h（e^-a）＜0，∴F（x）在（0，e^-a）上递减，这与F（x）在区间（0，1]上是单调函数矛盾．
∴a＞2不合题意．
综合①②得：a≤2．

点评 本题考查利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论的数学思想方法，考查逻辑思维能力与推理运算能力，难度较大．