Question

16．已知函数f（x）=e^x-ax-1，（a为实数），g（x）=lnx-x
（1）讨论函数f（x）的单调区间；
（2）求函数g（x）的极值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可．

解答 解：（1）由题意得f'（x）=e^x-a，
当a≤0时，f'（x）＞0恒成立，函数f（x）在R上单调递增，
当a＞0时，由f'（x）＞0可得x＞lna，由f'（x）＜0可得x＜lna．
故函数f（x）在（lna，+∞）上单调递增，在（-∞，lna）上单调递减．
（2）函数g（x）的定义域为$（{0，+∞}），g'（x）=\frac{1}{x}-1$．
由g'（x）＞0可得0＜x＜1；由g'（x）＜0可得x＞1．
所以函数g（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．
故函数g（x）在x=1取得极大值，其极大值为ln1-1=-1．

点评 本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是一道中档题．