【题目】已知,函数
.
(1)当时,解不等式
;
(2)若关于的方程
的解集中恰有两个元素,求
的取值范围;
(3)设,若对任意
,函数
在区间
上的最大值与最小值的和不大于
,求
的取值范围.
【答案】(1);(2)
;(3)
.
【解析】
(1)当a=1时,利用对数函数的单调性,直接解不等式f(x)1即可;
(2)化简关于x的方程f(x)+2x=0,通过分离变量推出a的表达式,通过解集中恰有两个元素,利用二次函数的性质,即可求a的取值范围;
(3)在R上单调递减利用复合函数的单调性,求解函数的最值,∴令,化简不等式,转化为求解不等式的最大值,然后求得a的范围.
(1)当时,
,
∴,解得
,
∴原不等式的解集为.
(2)方程,
即为,
∴,
∴,
令,则
,
由题意得方程在
上只有两解,
令,
,
结合图象可得,当时,直线
和函数
的图象只有两个公共点,
即方程只有两个解.
∴实数的范围
.
(3)∵函数在
上单调递减,
∴函数在定义域内单调递减,
∴函数在区间
上的最大值为
,
最小值为,
∴,
由题意得,
∴恒成立,
令,
∴对
,
恒成立,
∵在
上单调递增,
∴
∴,
解得,
又,
∴.
∴实数的取值范围是
.
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【题目】若一条直线与一个平面垂直,则称此直线与平面构成一个“正交线面对”.那么在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是( )
A. 48 B. 36 C. 24 D. 18
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【题目】我市大学生创业孵化基地某公司生产一种“儒风邹城”特色的旅游商品.该公司年固定成本为10万元,每生产千件需另投入2.7万元;设该公司年内共生产该旅游商品千件并全部销售完,每千件的销售收入为
万元,且满足函数关系:
.
(Ⅰ)写出年利润(万元)关于该旅游商品
(千件)的函数解析式;
(Ⅱ)年产量为多少千件时,该公司在该旅游商品的生产中所获年利润最大?
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【题目】中国古代儒家要求学生掌握六种基本才艺:礼、乐、射、御、书、数,简称“六艺”,某中学为弘扬“六艺”的传统文化,分别进行了主题为“礼、乐、射、御、书、数”六场传统文化知识的竞赛,现有甲、乙、丙三位选手进入了前三名的最后角逐、规定:每场知识竞赛前三名的得分都分别为(
,且
);选手最后得分为各场得分之和,在六场比赛后,已知甲最后得分为26分,乙和丙最后得分都为11分,且乙在其中一场比赛中获得第一名,则下列推理正确的是( )
A. 每场比赛第一名得分为4 B. 甲可能有一场比赛获得第二名
C. 乙有四场比赛获得第三名 D. 丙可能有一场比赛获得第一名
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【题目】已知点及圆
.
(1)若直线过点
且与圆心
的距离为1,求直线
的方程;
(2)设过点的直线
与圆
交于
两点,当
时,求以线段
为直径的圆
的方程;
(3)设直线与圆
交于
两点,是否存在实数
,使得过点
的直线
垂直平分弦
?若存在,求出实数
的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】定义在上的函数
,如果满足:对任意
,存在常数
,都有
成立,则称
是
上的有界函数,其中
称为函数
的上界.已知函数
.
(1)当时,求函数
在
上的值域,并判断函数
在
上是否为有界函数,请说明理由;
(2)若函数在
上是以4为上界的有界函数,求实数
的取值范围.
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