Question

6．已知点A（sin2x，1），B（1，cos（2x+$\frac{π}{6}$）），设函数f（x）=$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OB}$（x∈R），其中O为坐标原点．
（1）求函数f（x）的最小正周期
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，求函数f（x）的最大值与最小值．
（2）求函数f（x）的单调减区间．

Answer 1

分析 （1）由条件利用两个向量的数量积的公式，三角恒等变换求得f（x）的解析式，再利用正弦函数的周期性求得函数f（x）的最小正周期．
（2）当x∈[0，$\frac{π}{2}$]时，利用正弦函数的定义域和值域，求得函数f（x）的最大值与最小值．
（3）由条件利用正弦函数的减区间求得函数f（x）的单调减区间．

解答 解：（1）∵A（sin2x，1），$B（1，cos（2x+\frac{π}{6}））$，∴$\overrightarrow{OA}=（sin2x，1）$，$\overrightarrow{OB}=（1，cos（2x+\frac{π}{6}））$，
∴$f（x）=\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}=sin2x+cos（2x+\frac{π}{6}）=sin2x+cos2xcos\frac{π}{6}-sin2xcos\frac{π}{6}$=$\frac{1}{2}sin2x+\frac{{\sqrt{3}}}{2}cos2x=sin2xcos\frac{π}{3}+cos2xsin\frac{π}{3}=sin（2x+\frac{π}{3}）$．
故f（x）的最小正周期$T=\frac{2π}{2}=π$．
（2）∵$0≤x≤\frac{π}{2}$，∴$\frac{π}{3}≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{4π}{3}$，∴$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}≤sin（2x+\frac{π}{3}）≤1$，∴f（x）的最大值和最小值分别为1和$-\frac{{\sqrt{3}}}{2}$．
（3）由$\frac{π}{2}+2kπ≤2x+\frac{π}{3}≤\frac{3π}{2}+2kπ，k∈Z$得$\frac{π}{12}+kπ≤x≤\frac{7π}{12}+kπ，k∈Z$，∴f（x）的单调减区间是$[\frac{π}{12}+kπ，\frac{7π}{12}+kπ]，k∈Z$．

点评 本题主要考查两个向量的数量积的公式，三角恒等变换，正弦函数的周期性、定义域和值域和最值，属于基础题．