Question

16．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x+2}，-1≤x≤0\\{x}^{2}-2x，0＜x≤1\end{array}\right.$，若f（2m-1）＜$\frac{1}{2}$，则m的取值范围是（　　）

• A． m＞$\frac{1}{2}$
• B． m$＜\frac{1}{2}$
• C． 0$≤m＜\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{2}＜m≤1$

Answer 1

分析 由已知中函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x+2}，-1≤x≤0\\{x}^{2}-2x，0＜x≤1\end{array}\right.$，分2m-1∈[-1，0]和2m-1∈（0，1]两种情况，分别求出满足条件的m值，可得答案．

解答 解：∵函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{x+2}，-1≤x≤0\\{x}^{2}-2x，0＜x≤1\end{array}\right.$，
当2m-1∈[-1，0]，即m∈[0，$\frac{1}{2}$]时，
f（2m-1）＜$\frac{1}{2}$可化为：$\frac{1}{2m-1+2}＜\frac{1}{2}$，
解得：m＜-$\frac{1}{2}$，或m＞$\frac{1}{2}$，
此时不存在满足条件的m值；
当2m-1∈（0，1]，即m∈[$\frac{1}{2}$，1]时，
f（2m-1）＜$\frac{1}{2}$可化为：$（2m-1）^{2}-2（2m-1）＜\frac{1}{2}$，
解得：m∈[$1-\frac{\sqrt{2}}{4}$，$1+\frac{\sqrt{2}}{4}$]，
此时m∈（$\frac{1}{2}$，1]，
综上所述，m的取值范围是（$\frac{1}{2}$，1]，
故选：D．

点评 本题考查的知识点是分段函数的应用，是分段函数，分式不等式与二次不等式的综合应用，难度中档．