Question

15．函数f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，当x＞0时，有$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$＞0恒成立，则不等式f（x）＞0的解集为（　　）

• A． （-1，0）∪（1，+∞）
• B． （-1，0）∪（0，1）
• C． （-∞，-1）∪（1，+∞）
• D． （-∞，-1）∪（0，1）

Answer 1

分析 构造新函数g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，得到函数g（x）的单调性，结合函数的奇偶性得到函数g（x）的图象，从而求出不等式的解集．

解答 解：令g（x）=$\frac{f（x）}{x}$，则g′（x）=$\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$，
由题意知g（x）=$\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上是增函数，且g（1）=0，
∵f（x）是R上的奇函数，
∴g（x）是R上的偶函数．
$\frac{f（x）}{x}$的草图如图所示：

由图象知：当x＞1时，f（x）＞0，
当-1＜x＜0时，f（x）＞0．
∴不等式f（x）＞0的解集为（-1，0）∪（1，+∞）．

点评 本题考查了函数的单调性，函数的奇偶性，考查导数的应用，构造函数g（x）是解答本题的关键，本题是一道中档题．