Question

6．如图，F₁，F₂是椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的左、右两焦点，点P在椭圆C上，线段PF₂与圆x²+y²=b²相切于点Q，且点Q是线段PF₂的中点，则${\frac{{{a^2}+{e^2}}}{3b}^{\;}}$（e为椭圆的离心率）的最小值为$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 连接PF₁，OQ，运用中位线定理可得|F₁P|=2|OQ|=2b，由椭圆的定义可得|PF₁|+|PF₂|=2a，可得|PF₂|=2a-2b，运用勾股定理，化简可得3b=2a，e=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，求得${\frac{{{a^2}+{e^2}}}{3b}^{\;}}$=$\frac{1}{2}$（a+$\frac{5}{9a}$），运用基本不等式即可得到最小值．

解答 解：连接F₁P，OQ，因为点Q为线段PF₂的中点，所以|F₁P|=2|OQ|=2b，
由椭圆的定义得|PF₂|=2a-2b，由F₁P⊥F₂P，得（2b）²+（2a-2b）²=（2c）²，解得2a=3b，e=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
所以${\frac{{{a^2}+{e^2}}}{3b}^{\;}}$=$\frac{1}{2}$（a+$\frac{5}{9a}$）≥$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{a•\frac{5}{9a}}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$（当且仅当a=$\frac{\sqrt{5}}{3}$时等号成立）．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查最值的求法，注意运用椭圆的定义和基本不等式，考查圆的切线的性质的运用，以及中位线定理和勾股定理，考查化简整理的运算能力，属于中档题．