Question

16．已知函数f（x）=$\sqrt{3}$cos（$\frac{π}{2}$-2x）-2cos²x+1
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）将f（x）的图象沿x轴向左平移m（m＞0）个单位，所得函数g（x）的图象关于直线x=$\frac{π}{8}$对称，求m的最小值及m最小时g（x）在[0，$\frac{π}{4}$]上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f（x）=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），利用正弦函数的周期公式即可计算得解．
（2）利用三角函数的图象变换规律可求g（x）=2sin（2x+2m-$\frac{π}{6}$），由于题意，可求$\frac{π}{4}$+2m-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，结合m＞0，可求m的最小值，进而结合x的范围，利用正弦函数的图象和性质可求其值域．

解答 解：（1）f（x）=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x=2sin（2x-$\frac{π}{6}$），
∴T=$\frac{2π}{2}$=π，
（2）∵g（x）=2sin（2x+2m-$\frac{π}{6}$），图象关于直线x=$\frac{π}{8}$对称，
∴$\frac{π}{4}$+2m-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$+2kπ，k∈Z，
∴m=kπ+$\frac{5π}{24}$，k∈Z，
∴m_min=$\frac{5π}{24}$，此时，g（x）=2sin（2x+$\frac{π}{4}$），
又∵x∈[0，$\frac{π}{4}$]，
∴2x+$\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$]，
∴g（x）∈[$\sqrt{2}$，2]．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的周期公式，三角函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，考查了计算能力和数形结合思想，属于基础题．