Question

12．已知三棱锥A-BCD的四个顶点A、B、C、D都在球O的表面上，AC⊥平面BCD，BD⊥AD，且AD=2$\sqrt{5}$，BD=2，CD=$\sqrt{3}$，则球O的体积为（　　）

• A． 8$\sqrt{6}$π
• B． $\frac{27\sqrt{3}π}{2}$
• C． $\frac{7\sqrt{7}π}{6}$
• D． 10$\sqrt{3}$π

Answer 1

分析 证明BD⊥平面ACD，三棱锥S-ABC可以扩充为以AB为对角线的长方体，外接球的直径为AB，可得三棱锥的外接球的半径，即可求出三棱锥的外接球的表面积．

解答 解：由题意，AC⊥平面BCD，BD?平面BCD，
∴AC⊥BD，
∵BD⊥AD，AC∩AD=A，
∴BD⊥平面ACD，
∴三棱锥S-ABC可以扩充为以AB为对角线的长方体，外接球的直径为AB，
∴4R²=AB²=BD²+AD²=4+20=24，
∴R=$\sqrt{6}$
∴球O的体积为$\frac{4}{3}π{R}^{3}$=8$\sqrt{6}$π，
故选：A．

点评 本题考查三棱锥的外接球的体积，考查学生的计算能力，证明BD⊥平面ACD是关键．