Question

4．已知f（x）为一元二次函数，且m，f（m），f（f（m）），f（f（f（m）））成正项等比数列，求证：f（m）=m．

Answer 1

分析 可以设t=f（f（m）），f（t）=f（f（f（m））），由m，f（m），t，f（t）成等比数列，就有mf（t）=tf（m），可以发现式子有对称性，不妨转换成$\frac{f（t）}{f（m）}$=$\frac{t}{m}$，可设g（x）=$\frac{f（f（x））}{x}$，由二次函数f（x），可得g（x）为单调函数，即有f（m）=m．

解答 证明：要证明f（m）=m，就必须列出等式，没有等式就构造等式．
为了简便易懂，可以设t=f（f（m）），f（t）=f（f（f（m））），
显然就要构造出等式m=t就能证出要证的结论，
由m，f（m），t，f（t）成等比数列，就有mf（t）=tf（m），可以发现式子有对称性，
不妨转换成$\frac{f（t）}{f（m）}$=$\frac{t}{m}$，
我们就可以构造函数g（x）=$\frac{f（f（x））}{x}$，
上式就等价于g（f（m））=g（m），
因为f（x）是二次函数，可以很容易的知道g（x）在其指定区间内是单调函数，
有f（m）=m．

点评 本题考查等式的证明，考查等比数列的性质的运用，注意运用对称性和构造函数法，考查推理能力，属于难题．