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等比数列{cn}满足cn+1+cn=10·4n-1(n∈N*),数列{an}的前n项和为Sn,且an=log2cn.
(1)求an,Sn
(2)数列{bn}满足bn,Tn为数列{bn}的前n项和,是否存在正整数m(m>1),使得T1,Tm,T6m成等比数列?若存在,求出所有m的值;若不存在,请说明理由.
(1)an=2n-1,Sn=n2.(2)存在正整数m=2,使得T1,Tm,T6m成等比数列.
(1)因为c1+c2=10,c2+c3=40,所以公比q=4,
由c1+4c1=10,得c1=2,cn=2·4n-1=22n-1
所以an=log222n-1=2n-1.
Sn=a1+a2+…+an=log2c1+log2c2+…+log2cn=log2(c1·c2·…·cn)=log2(21·23·…·22n-1)=log22(1+3+…+2n-1)=n2.
(2)由(1)知bn
于是Tn.
假设存在正整数m(m>1),使得T1,Tm,T6m成等比数列,则
,整理得4m2-7m-2=0,
解得m=-或m=2.
由m∈N*,m>1,得m=2.
因此存在正整数m=2,使得T1,Tm,T6m成等比数列.
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