Question

已知数列{a_n}的相邻两项a_n，a_n＋1是关于x的方程x²－2ⁿx＋b_n＝0的两根，且a₁＝1.
(1)求证：数列是等比数列；
(2)求数列{a_n}的前n项和S_n；
(3)设函数f(n)＝b_n－t·S_n(n∈N^*)，若f(n)＞0对任意的n∈N^*都成立，求t的取值范围．

Answer 1

（1）见解析（2）（3）t＜1

(1)∵a_n＋a_n＋1＝2ⁿ，∴a_n＋1－·2^n＋1＝－，
＝－1，∴是等比数列，
又a₁－＝，q＝－1，∴a_n＝ [2ⁿ－(－1)ⁿ]．
(2)由(1)得S_n＝a₁＋a₂＋…＋a_n
＝ (2＋2²＋…＋2ⁿ)－ [(－1)＋(－1)²＋…＋(－1)ⁿ]＝
＝
(3)∵b_n＝a_n·a_n＋1，
∴b_n＝[2ⁿ－(－1)ⁿ][2^n＋1－(－1)^n＋1]＝[2^2n＋1－(－2)ⁿ－1]，∴b_n－t·S_n＞0，
∴[2^2n＋1－(－2)ⁿ－1]－t·＞0，∴当n为奇数时，
(2^2n＋1＋2ⁿ－1)－(2^n＋1－1)＞0，∴t＜ (2ⁿ＋1)对任意的n为奇数都成立，∴t＜1.
∴当n为偶数时，
(2^2n＋1－2ⁿ－1)－(2^n＋1－2)＞0，
∴ (2^2n＋1－2ⁿ－1)－ (2ⁿ－1)＞0，
∴t＜ (2^n＋1＋1)对任意的n为偶数都成立，∴t＜.
综上所述，t的取值范围为t＜1