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甲、乙两大超市同时开业,第一年的全年销售额均为a万元,由于经营方式不同,甲超市前n年的总销售额为(n2-n+2)万元,乙超市第n年的销售额比前一年销售额多a万元.
(1)设甲、乙两超市第n年的销售额分别为an、bn,求an、bn的表达式;
(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%,则该超市将被另一超市收购,判断哪一超市有可能被收购?如果有这种情况,将会出现在第几年?
(1)anbna(n∈N*)(2)第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半,乙超市将被甲超市收购
(1)假设甲超市前n年总销售额为Sn,则Sn(n2-n+2)(n≥2),因为n=1时,a1=a,则n≥2时,an=Sn-Sn-1(n2-n+2)-[(n-1)2-(n-1)+2]=a(n-1),故an又b1=a,n≥2时,bn-bn-1a,故bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=a+a+a+…+a=a=a=a,显然n=1也适合,故bna(n∈N*).
(2)当n=2时,a2=a,b2a,有a2>b2;n=3时,a3=2a,b3a,有a3>b3;当n≥4时,an≥3a,而bn<3a,故乙超市有可能被甲超市收购.
当n≥4时,令an>bn,则 (n-1)a>a
n-1>6-4·.即n>7-4·.又当n≥7时,0<4·<1,
故当n∈N*且n≥7时,必有n>7-4·.
即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半,乙超市将被甲超市收购.
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