Question

已知数列{a_n}的首项a₁＝2a＋1(a是常数，且a≠－1)，
a_n＝2a_n－1＋n²－4n＋2(n≥2)，数列{b_n}的首项b₁＝a，
b_n＝a_n＋n²(n≥2)．
(1)证明：{b_n}从第2项起是以2为公比的等比数列；
(2)设S_n为数列{b_n}的前n项和，且{S_n}是等比数列，求实数a的值；
(3)当a>0时，求数列{a_n}的最小项．

Answer 1

（1）见解析（2）a＝－（3）当a∈时，最小项为8a－1；当a＝时，最小项为4a或8a－1；当a∈时，最小项为4a；当a＝时，最小项为4a或2a＋1；
当a∈时，最小项为2a＋1.

(1)证明：∵b_n＝a_n＋n²，∴b_n＋1＝a_n＋1＋(n＋1)²＝2a_n＋(n＋1)²－4(n＋1)＋2＋(n＋1)²＝2a_n＋2n²＝2b_n(n≥2)．
由a₁＝2a＋1，得a₂＝4a，b₂＝a₂＋4＝4a＋4，∵a≠－1，
∴b₂≠0，即{b_n}从第2项起是以2为公比的等比数列．
(2)解：由(1)知b_n＝
S_n＝a＋＝－3a－4＋(2a＋2)2ⁿ，当n≥2时，
＝.
∵{S_n}是等比数列，∴ (n≥2)是常数，∴3a＋4＝0，即a＝－.
(3)解：由(1)知当n≥2时，b_n＝(4a＋4)2^n－2＝(a＋1)2ⁿ，
∴a_n＝
∴数列{a_n}为2a＋1，4a，8a－1，16a，32a＋7，…
显然最小项是前三项中的一项．
当a∈时，最小项为8a－1；当a＝时，最小项为4a或8a－1；
当a∈时，最小项为4a；当a＝时，最小项为4a或2a＋1；
当a∈时，最小项为2a＋1.