Question

1．如图所示，在边长为4的菱形ABCD中，∠DAB=60°，点E，F分别是边CD，CB的中点，EF∩AC=O，沿EF将△CEF翻折到△PEF，连接PA，PB，PD，得到五棱锥P-ABFED，且AP=$\sqrt{30}$，PB=$\sqrt{10}$．
（1）求证：BD⊥平面POA；
（2）求二面角B-AP-O的正切值．

Answer 1

分析 （1）证明PO⊥BD，AO⊥BD，然后利用直线与平面垂直的判定定理证明即可；
（2）建立空间坐标系，求出平面的法向量，利用向量法即可求二面角B-AP-O的正切值．

解答 证明：（1）因为平面PEF⊥平面ABD，平面PEF∩平面ABD=EF，PO?平面PEF，
∴PO⊥平面ABD
则PO⊥BD，又AO⊥BD，AO∩PO=O，AO?平面APO，PO?平面APO，
∴BD⊥平面APO，（6分）
（2）以O为原点，OA为x轴，OF为y轴，OP为z轴，建立坐标系，
则O（0，0，0），A（3$\sqrt{3}$，0，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），B（$\sqrt{3}$，2，0），…（8分）
设$\overrightarrow{n}$=（x，y，z）为平面OAP的一个法向量，
则$\overrightarrow{n}$=（0，1，0），$\overrightarrow{m}$=（x，y，z）为平面ABP的一个法向量，
$\overrightarrow{AB}$=（-2$\sqrt{3}$，2，0），$\overrightarrow{AP}$=（-3$\sqrt{3}$，0，$\sqrt{3}$），
则$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AB}=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{AP}=0}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{-2\sqrt{3}x+2y=0}\\{-3\sqrt{3}x+\sqrt{3}z=0}\end{array}\right.$，
令x=1，则y=$\sqrt{3}$，z=3，
则$\overrightarrow{m}$=（1，$\sqrt{3}$，3）…．（10分）
cosθ=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{|\overrightarrow{m}||\overrightarrow{n}|}$=$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{13}}$，
∴tanθ=$\frac{\sqrt{30}}{3}$…..（12分）

点评 本题主要考查线直线垂直的判定以及二面角的应用，建立坐标性，求出平面的法向量，利用向量法是解决本题的关键．综合性较强．