Question

19．已知椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$内有一点M（2，1），过M的两条直线l₁，l₂分别与椭圆E交于A，C和B，D两点，且满足$\overrightarrow{AM}=λ\overrightarrow{MC}，\overrightarrow{BM}=λ\overrightarrow{MD}$（其中λ＞0，且λ≠1），若λ变化时，AB的斜率总为$-\frac{1}{2}$，则椭圆E的离心率为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$

Answer 1

分析 由向量数量积的坐标运算及点差法作差求得$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，代入即可求得a和b的关系，即可求得椭圆的离心率．

解答 解：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、C（x₃，y₃）、D（x₄，y₄），
由$\overrightarrow{AM}$=λ$\overrightarrow{MC}$，即（2-x₁，1-y₁）=λ（x₃-2，y₃-1），
则$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+λ{x}_{3}=2+2λ}\\{{y}_{1}+λ{y}_{3}=1+λ}\end{array}\right.$，同理可得：$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}+λ{x}_{4}=2+2λ}\\{{y}_{2}+λ{y}_{4}=1+λ}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}+{x}_{2}+λ（{x}_{3}+{x}_{4}）=4（1+λ）}\\{{y}_{1}+{y}_{2}+λ（{y}_{3}+{y}_{4}）=2（1+λ）}\end{array}\right.$，则2[（y₁+y₂）+λ（y₃+y₄）]=1[（x₁+x₂）+λ（x₃+x₄）]，
将点A，B的坐标代入椭圆方程作差可得：$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，
即-$\frac{1}{2}$=-$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$×$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{{y}_{1}+{y}_{2}}$，则a²（y₁+y₂）=2b²（x₁+x₂）①，
同理可得：a²（y₃+y₄）=2b²（x₃+x₄）②，
①+②得：a²[（y₁+y₂）+（y₃+y₄）]=2b²[（x₁+x₂）+（x₃+x₄）]，
∴2[（y₁+y₂）+λ（y₃+y₄）]=1[（x₁+x₂）+λ（x₃+x₄）]，
∴$\frac{{a}^{2}}{2}$=$\frac{2{b}^{2}}{1}$
则$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{1}{4}$，
则椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
故选D．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法．考查向量坐标运算，考查计算能力，属于中档题．