Question

3．已知抛物线G的顶点在原点，焦点在y轴正半轴上，抛物线上的点P（m，4）到其焦点F的距离等于5．
（Ⅰ）求抛物线G的方程；
（Ⅱ）如图过抛物线焦点F的直线l与抛物线交于A、B
两点，与圆M：（x-1）²+（y-4）²=4交于C、D两点，若|AC|=|BD|，求三角形OAB的面积．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用点P（m，4）到抛物线的准线距离为5，结合准线方程为y+1=0，求解p，即可求解抛物线G的方程．
（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，设其斜率为k，由于l过焦点F（0，1），直线l的方程为y=kx+1，取CD的中点N，连接MN，什么N点也是线段AB的中点，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、N（x₀，y₀），联立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=4y\\ y=kx+1\end{array}\right.$利用韦达定理转化推出$\frac{{（2{k^2}+1）-4}}{2k-1}=-\frac{1}{k}$，求出k，然后求解三角形的面积．

解答 解：（Ⅰ）由题知，点P（m，4）到抛物线的准线距离为5，所以准线方程为y+1=0，$\frac{p}{2}=1$，
抛物线G的方程为x²=4y…（4分）
（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，设其斜率为k，由于l过焦点F（0，1），
所以直线l的方程为y=kx+1…（5分）
取CD的中点N，连接MN，则MN⊥CD，由于|AC|=|BD|，所以N点也是线段AB的中点，
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）、N（x₀，y₀），则${x_0}=\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}$，${y_0}=\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}$
由$\left\{\begin{array}{l}{x^2}=4y\\ y=kx+1\end{array}\right.$得x²-4kx-4=0，所以x₁+x₂=4k，∴x₀=2k，${y_0}=2{k^2}+1$，即N（2k，2k²+1）…（9分）
∵${k_{MN}}=-\frac{1}{k}$，即$\frac{{（2{k^2}+1）-4}}{2k-1}=-\frac{1}{k}$，
整理得2k³-k-1=0，即（k-1）（2k²+2k+1）=0，∴k=1，
∵|AB|=y₁+y₂+2=（x₁+1）+（x₂+1）+2=8
原点到直线AB的距离为$d=\frac{1}{{\sqrt{2}}}=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$…（11分）
∴${S_{△OAB}}=\frac{1}{2}|AB|×d=2\sqrt{2}$…（12分）

点评 本题考查抛物线的简单性质以及抛物线方程的求法，考查转化思想以及计算能力．