Question

（附加题-选做题）（几何证明选讲）
如图，圆O与圆O₁外切于点P，一条外公切线分别切两圆于A、B两点，AC为圆O的直径，T为圆O₁上任点，CT=AC．求证：CT为圆O₁的切线，切点为T．

Answer 1

分析：设圆O的半径为r，圆O₁的半径为R（R＞r）过点O₁作O₁E⊥AC，垂足为E，利用O₁E²=AB²=（R+r）²-（R-r）²=4Rr，连接O₁C，推出三角形O₁CT为直角三角形，即可证明本题．

解答：证明：设圆O的半径为r，圆O₁的半径为R（R＞r）过点O₁作O₁E⊥AC，垂足
为E，则O₁E²=AB²=（R+r）²-（R-r）²=4Rr
连接O₁C，则O₁C²=O₁E²=C₁E²=4Rr+（2R-r）²=4R²+r²
因为CT²=AC²=4r²，O₁T²=R²
所以O₁C²=CT²+O₁T²，
所以三角形O₁CT为直角三角形，
O₁T⊥TC所以CT为圆O₁的切线，切点为T

点评：本题是中档题，考查两个圆的位置关系，考查转化思想，计算推理能力，勾股定理的应用．