Question

1．实数a使得复数$\frac{a+i}{1-i}$是纯虚数，b=${∫}_{0}^{1}$xdx，c=${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx，则a，b，c的大小关系是（　　）

• A． a＜b＜c
• B． a＜c＜b
• C． b＜c＜a
• D． c＜b＜a

Answer 1

分析 利用复数代数形式的乘除运算化简复数$\frac{a+i}{1-i}$，由其是纯虚数求得a值，再通过求定积分得到b、c的大小，则答案可求．

解答 解：由$\frac{a+i}{1-i}$=$\frac{（a+i）（1+i）}{（1-i）（1+i）}=\frac{（a-1）+（a+1）i}{2}$是纯虚数，得a=1；
b=${∫}_{0}^{1}$xdx=$\frac{1}{2}{x}^{2}{|}_{0}^{1}=\frac{1}{2}$，
由定积分的几何意义可知，c=${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx表示单位圆在第一象限部分与x轴、y轴所围成的封闭曲线的面积，等于$\frac{π}{4}$，
∴b＜c＜a．
故选：C．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了定积分的求法，是基础题．