Question

7．设函数g（x）=e^x+3x-a（a∈R，e为自然对数底数），若存在x₀∈（-∞，1]，使g（g（x₀））=x₀，则实数a的取值范围为（　　）

• A． （-∞，$\sqrt{e}$+$\frac{1}{2}$]
• B． （-∞，e+2]
• C． （-∞，e+$\frac{1}{2}$]
• D． （-∞，$\sqrt{e}$+2]

Answer 1

分析 由g[g（x₀）]=x₀可得g（x₀）=g^-1（x₀），g（x）如果与其反函数相交，则交点一定在直线y=x上，故有g（x₀）=x₀，可令h（x）=g（x）-x，由题意可得e^x+2x-a=0在（-∞，1]有解．求出h（x）的导数，判断符号可得h（x）的单调性，即有h（x）的最大值，令其不小于0，可得a的范围．

解答 解：由函数g（x）=e^x+3x-a的导数g′（x）=e^x+3＞0，
可得g（x）在R上递增．
g[g（x₀）]=x₀可得g（x₀）=g^-1（x₀），
而g（x）如果与其反函数相交，则交点一定在直线y=x上，
故有g（x₀）=x₀，
可令h（x）=g（x）-x
由h（x）=e^x+2x-a=0在（-∞，1]有解．
∵h′（x）=e^x+2，
∴h（x）在R上单调递增．
∴h（x）_max=h（1）=e+2-a≥0即可，
∴a≤e+2．
故选：B．

点评 本题考查导数的运用：求单调性，考查转化思想的运用，以及构造函数法，考查运算能力，属于中档题．