Question

已知f（x）=x³-3x²+m，在区间[1，3]上任取三个数a，b，c，均存在以f（a），f（b），f（c）为边长的三角形，则m的取值范围是（　　）

• A、m＞2
• B、m＞4
• C、m＞6
• D、m＞8

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：三角形的边长为正数，而且任意两边之和大于第三边才能构成三角形，故只需求出函数在区间[1，3]上的最小值与最大值，从而可得不等式，即可求解．

解答： 解：由f′（x）=3x²-6x=3x（x-2）=0，得到x₁=0（舍去），x₂=2，
∵函数的定义域为[1，3]，
∴函数在[1，2）上f′（x）＜0，（2，3]上f′（x）＞0，
∴函数f（x）在区间[1，2）单调递减，在区间（2，3]单调递增，
则f（x）_min=f（2）=m-4，f（x）_max=f（3）=m，f（1）=m-2，
由题意知，f（2）=m-4＞0  ①；
f（2）+f（2）＞f（3），即-8+2m＞m②，
由①②得到m＞8．
故选D．

点评：本题以函数为载体，考查构成三角形的条件，解题的关键是求出函数在区间[1，3]上的最小值与最大值