Question

【题目】已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“垂直对点集”．给出下列四个集合：

①M={}；②M={（x，y）|y=sinx+1}；

③M={（x，y）|y=log2x}；④M={（x，y）|y=ex﹣2}．

其中是“垂直对点集”的序号是（　　）

A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ②④

Answer 1

【答案】D

【解析】由题意可知，若集合M是“垂直对点集”，则曲线y=f（x）上过任意一点与原点的直线，都存在过另一点与原点的直线与之垂直．

对于①，假设集合是“垂直对点集”，则存在两点，满足，即，此方程无解。因此，假设不成立，即集合不是“垂直对点集”。

对于②，画出函数的图象，可得图象向左向右无限伸展，且与x轴相切，在函数图象上任取一点A，连OA，过原点作直线OA的垂线OB，则直线OB总会与的图象相交，所以集合M={（x，y）|y=sinx+1}是“垂直对点集”。

对于③，在函数图象上取点（1,0），则在曲线不存在点 ，满足，故集合M={（x，y）|y=log2x}不是“垂直对点集”。

对于④，函数的图象过点，且向右上和左下无限伸展，在函数的图象上任取一点A，连OA，过原点作直线OA的垂线OB，则直线OB总会与的图象相交，所以集合M={（x，y）|y=ex﹣2}是“垂直对点集”。