Question

设f（x）=|2x-1|，若不等式f（x）≥

|a+1|-|2a-1|

|a|

对任意实数a≠0恒成立，则x取值集合是

 

．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式

分析：把f（x）看作是一个参数，问题转化为求

|a+1|-|2a-1|

|a|

的最大值，再把此式看作是关于a的函数，通过分段处理的方式，可获得最值．

解答： 解：∵不等式f（x）≥

|a+1|-|2a-1|

|a|

对任意实数a≠0恒成立，
∴f（x）大于或等于

|a+1|-|2a-1|

|a|

的最大值，
令g（a）=

|a+1|-|2a-1|

|a|

，则当a≤-1时，g（a）=-1+

2

a

；
当-1＜a＜0时，g（a）=-3；
当0＜a＜

1

2

时，g（a）=3；
当a≥

1

2

时，g（a）=-1+

2

a

，
即g（a）=

-1+ 2 a ，a≤-1 -3，-1＜a＜0 3，0＜a＜ 1 2 -1+ 2 a ，a≥ 1 2

∴g（a）有最大值g（

1

2

）=-1+

2

1 2

=3．
∴f（x）≥3，即|2x-1|≥3，解得x≤-1或x≥2．
故答案为{x|x≤-1或x≥2}．

点评：本题属于恒成立问题，解决本题的关键有两个：
（1）弄清谁是参数
我们习惯上把a当作参数，但由于本题是“对任意实数a≠0恒成立”，所以不等式f（x）≥

|a+1|-|2a-1|

|a|

应看作是关于a的不等式；
（2）如何去绝对值符号
求函数g（a）=

|a+1|-|2a-1|

|a|

的最大值时，采用了分段处理的方法，分段的依据是以三个临界点-1，0，

1

2

为准则进行讨论，从而顺利地去掉了绝对值符号．