Question

【题目】对于函数f(x)(x∈D)，若x∈D时，均有f′(x)<f(x)成立，则称函数f(x)是J函数．

(Ⅰ)当函数f(x)＝x2＋m(ex＋x)，x≥e是J函数时，求实数m的取值范围；

(Ⅱ)若函数g(x)为R＋上的J函数，试比较g(a)与ea－1g(1)的大小．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)m> (Ⅱ)见解析

【解析】试题分析：（1）根据J函数的定义，解不等式f'（x）>f（x），通过这个不等式，我们可以求出m的取值范围，
（2）根据函数g（x）为（0，+∞）上的J函数，构造函数h(x)＝，利用函数的单调性进行判断．

试题解析：(Ⅰ)由f(x)＝x2＋m(ex＋x)，x≥e得f′(x)＝2x＋m(ex＋1)，x≥e，

由f′(x)<f(x)得2x＋m(ex＋1)<x2＋m(ex＋x)，

∴m(x－1)>2x－x2，又x≥e，∴m>，

令y＝，则y′＝<0，

又x≥e，∴ymax＝，∴m>.

(Ⅱ)构造函数h(x)＝，x∈R＋，

则h′(x)＝<0，可得h(x)为R＋上的减函数．

当a>1时，h(a)<h(1)，

即，得g(a)<ea－1g(1)；

当0<a<1时，h(a)>h(1)，即，

得g(a)>ea－1g(1)；

当a＝1时，h(a)＝h(1)，即，得g(a)＝ea－1g(1).