Question

求函数y=sinx-

1 2-sinx

的值域．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,函数的值域

专题：函数的性质及应用,导数的概念及应用

分析：设t=

1 2-sinx

，则sinx=2-

1

t2

，t∈[

3

3

，1]，函数g（t）=2-

1

t2

-t，t∈[

3

3

，1]，利用导数求解即可．

解答： 解：∵函数y=sinx-

1 2-sinx

，
∴设t=

1 2-sinx

，则sinx=2-

1

t2

，t∈[

3

3

，1]，
∴函数g（t）=2-

1

t2

-t，t∈[

3

3

，1]，
∵g′（t）=

2-t3

t3

＞0，
∴函数g（t）=2-

1

t2

-t，在t∈[

3

3

，1]单调递增．
∴g（1）=0，g（

3

3

）=-

3

3

-1，
∴值域为[-

3

3

-1，0]．

点评：本题考查了运用换元法，导数，求解函数的单调性，值域，属于中档题，关键是换元的新元的范围．