Question

【题目】设函数.

（1）若直线是函数图象的一条切线，求实数的值；

（2）若函数在上的最大值为（为自然对数的底数），求实数的值；

（3）若关于的方程有且仅有唯一的实数根，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或.

【解析】试题分析：（1）可设切点坐标，切点坐标满足函数方程，且有．解方程组可得的值；（2）函数求导后，对分类讨论原函数的单调性，求得函数的最大值，建立关于的方程，解得值；（3）对原方程进行配凑可得 ，构造函数方程在上有且仅有唯一实数根，利用一元二次函数根的分布问题可得结果．

试题解析：（1）， ，

设切点横坐标为，则

消去，得，故，得.

（2）， ， ，

①当时， 在上恒成立， 在上单调递增，

则 ，得，舍去；

②当时， 在上恒成立， 在上单调递减，

则 ，得，舍去；

③当时，由，得；由，得.

故在上单调递增，在上单调递减，

则 ，得，

设， ，则， ，

当时， ， 单调递减，

当时， ， 单调递增，

故， 的解为.

综上①②③，.

（3）方程可化为：

，

令，故原方程可化为，

由（2）可知在上单调递增，故有且仅有唯一实数根，即方程（ж）在上有且仅有唯一实数根，

①当，即时，方程（※）的实数根为，满足题意；

②当，即时，方程（※）有两个不等实数根，

记为， ，不妨设， ，

Ⅰ）若， ，代入方程（※）得，得或，

当时方程（※）的两根为0，1，符合题意；

当时方程（※）的两根为2，-1，不合题意，舍去；

Ⅱ）若， ，设，则，得；

综合①②，实数的取值范围为或.