Question

1．已知直线l：y=kx-2，圆C：x²+y²-8x+4y-16=0．
（Ⅰ）若k=$\frac{2}{{\sqrt{3}}}$，请判断直线l与圆C的位置关系；
（Ⅱ）当|k|≥1时，直线l能否将圆C分割成弧长的比值为$\frac{1}{3}$的两段圆弧？为什么？

Answer 1

分析 （Ⅰ）若k=$\frac{2}{{\sqrt{3}}}$，求出圆心C（4，-2）到直线l的距离，与半径的关系，即可判断直线l与圆C的位置关系；
（Ⅱ）判断$\frac{{\sqrt{2}}}{3}r≤d＜\frac{2}{3}r$．若直线l能将圆C分割成弧长的比值为$\frac{1}{3}$的两段圆弧，则圆心C到直线l的距离$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}r$，即可得出结论．

解答 解：（Ⅰ）圆C的圆心为C（4，-2），半径r=6．                        （2分）
若$k=\frac{2}{{\sqrt{3}}}$，直线l：$4x-2\sqrt{3}y-4\sqrt{3}=0$，
即$2x-\sqrt{3}y-2\sqrt{3}=0$，
则圆心C（4，-2）到直线l的距离$d=\frac{{|{8+2\sqrt{3}-2\sqrt{3}}|}}{{\sqrt{7}}}=\frac{{8\sqrt{7}}}{7}＜6$，
所以直线l与圆C相交．                                  （4分）
（Ⅱ） 不能．
直线l的方程为y=kx-2，其中|k|≥1．
圆心C到直线l的距离$d=\frac{{|{4k}|}}{{\sqrt{1+{k^2}}}}=\frac{4}{{\sqrt{1+\frac{1}{k^2}}}}$．                 （6分）
由|k|≥1得$2\sqrt{2}≤d＜4$，又r=6即$\frac{{\sqrt{2}}}{3}r≤d＜\frac{2}{3}r$．            （8分）
若直线l能将圆C分割成弧长的比值为$\frac{1}{3}$的两段圆弧，
则圆心C到直线l的距离$d=\frac{{\sqrt{2}}}{2}r$，（10分）
因为$\frac{{\sqrt{2}}}{2}r＞\frac{2}{3}r$，
所以直线l不能将圆C分割成弧长的比值为$\frac{1}{3}$的两段弧．            （12分）

点评 本题考查直线与圆及不等式知识的综合应用，考查了直线与圆相交关系的应用，解题的关键是点到直线距离公式的灵活应用．