Question

6．已知函数f（x）=aln（1+x）+x²-10x在点（2，f（2））的切线与直线3x-2y-1=0垂直．
（1）求实数a的值；
（2）求函数f（x）的单调区间；
（3）若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，求b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，求出切线的斜率，从而得到f′（2）=-$\frac{2}{3}$，解出即可；
（2）由（1）确定函数f（x）的解析式，再由f′（x）＞0和f′（x）＜0求得单调区间；
（3）由（2）得到函数的极值点，求得极小值和极大值得答案．

解答 解：（1）∵f（x）=aln（1+x）+x²-10x在点（2，f（2））的切线与直线3x-2y-1=0垂直，
∴f（x）=aln（1+x）+x²-10x在点（2，f（2））的切线斜率为：k=$-\frac{2}{3}$…（1分）
又∵$f'（x）=\frac{a}{1+x}+2x-10$…（2分）
∴$f'（2）=\frac{a}{3}+4-10=-\frac{2}{3}$，解得a=16，
（2）由（1）知，f（x）=16ln（1+x）+x²-10x，x∈（-1，+∞），
$f'（x）=\frac{{2（{{x^2}-4x+3}）}}{1+x}=\frac{{2（{x-1}）（{x-3}）}}{1+x}$，
当x∈（-1，1）∪（3，+∞）时，f′（x）＞0
当x∈（1，3）时，f′（x）＜0
所以f（x）的单调增区间是（-1，1），（3，+∞）f（x）的单调减区间是（1，3）
（3）由（2）知，f（x）的极大值为f（1）=16ln2-9，极小值为f（3）=32ln2-21．
且当x从右侧无限接近于-1时，f（x）趋于-∞，当x无限大时，f（x）趋于+∞，
∴若直线y=b与函数y=f（x）的图象有3个交点，则b的取值范围是（32ln2-21，16ln2-9）．

点评 此题重点考查利用求导研究函数的单调性，最值问题，函数根的问题；，熟悉函数的求导公式，理解求导在函数最值中的研究方法是解题的关键，数形结合理解函数的取值范围．