Question

已知椭圆的离心率为，右焦点为，过原点的直线交椭圆于两点，线段的垂直平分线交椭圆于点．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）求证：为定值，并求面积的最小值．

Answer 1

解：（Ⅰ）由题意，

因为，所以，                         ………2分

所以 

        所以椭圆的方程为                    ………4分

  （Ⅱ）当直线垂直于坐标轴时，

易得，的面积 …1分

当直线与坐标轴不垂直时，设直线的方程为，

        则由 消元得，

所以，       ………3分

所以         ………4分

又是线段的垂直平分线，故方程为，          

同理可得         ………5分 

从而为定值。

…7分

方法一：由，所以，

当且仅当时，即，时，等号成立，

所以的面积 。                    ………9分

所以，当时，的面积有最小值。                ………10分

方法二：的面积

所以

       9       ………9分

所以，当且仅当时，即时，的面积有最小值。