Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0），且双曲线的一条渐近线截圆（x-3）²+y²=8所得弦长为4，则双曲线的离心率为

 

．

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：计算题,直线与圆,圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：先根据双曲线方程求得其中一条渐近线方程，根据题意可知圆心到渐近线的距离为2，进而表示出圆心到渐近线的距离，求得a，b的关系，即可求出双曲线的离心率．

解答： 解：依题意可知双曲线的一渐近线方程为bx-ay=0，
∵弦长为4，圆的半径为2

2

，
由弦长的一半、半径和圆心到直线的距离构成直角三角形，
则圆心到渐近线的距离d=

8-4

=2，
即

|3b|

a2+b2

=2，解得b=

2

5

a，
∴c=

a2+b2

=

3

5

a，
∴双曲线的离心率为e=

c

a

=

3 5

5

．
故答案为：

3 5

5

．

点评：本题主要考查了双曲线的简单性质．解题的关键是利用圆中弦长的一半、半径和圆心到直线的距离构成直角三角形，求得圆心到渐近线的距离．