Question

已知f（x）（x＞0）满足f（2）=1，f（xy）=f（x）+f（y），当f（x）在（0，+∞）上是增函数时，如果f（2）+f（x-3）≤2，求x取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：函数的性质及应用

分析：令x=y=2，结合条件，可求出f（4）；结合条件得到f（2x-6）≤f（4），再由单调性，即可求出x的取值范围，注意定义域．

解答： 解：∵f（xy）=f（x）+f（y），
令x=y=2，则f（4）=2f（2）=2．
∵f（2）+f（x-3）≤2，
∴f（2x-6）≤2=f（4），
∵函数f（x）为定义域在（0，+∞）上的增函数，
∴

x-3＞0 2x-6≤4

∴3＜x≤5，
故x的取值范围是（3，5]

点评：本题主要考查函数的单调性及运用，考查解决抽象函数值的常用方法：赋值法，属于基础题．