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(本题12分)
如图,已知圆O的直径AB=4,定直线L到圆心的距离为4,且直线L垂直直线AB。点P是圆O上异于A、B的任意一点,直线PA、PB分别交L与M、N点。

(Ⅰ)若∠PAB=30°,求以MN为直径的圆方程;
(Ⅱ)当点P变化时,求证:以MN为直径的圆必过圆O内的一定点。
(Ⅰ);(Ⅱ)设点P的坐标为, MN的中点坐标为
以MN为直径的圆截x轴的线段长度为
为定值。∴⊙必过⊙O 内定点

试题分析:建立直角坐标系,⊙O的方程为,……2分
直线L的方程为
(Ⅰ)∵∠PAB=30°,∴点P的坐标为
。将x=4代入,得
∴MN的中点坐标为(4,0),MN=。∴以MN为直径的圆的方程为
同理,当点P在x轴下方时,所求圆的方程仍是。……6分
(Ⅱ)设点P的坐标为,∴),∴
,将x=4代入,得
。∴,MN=
MN的中点坐标为。……10分
以MN为直径的圆截x轴的线段长度为
为定值。∴⊙必过⊙O 内定点。……12分
点评:要求圆的方程,只需确定圆心和半径即可。本题的计算量较大,在计算的过程中一定要仔细、认真,避免出现计算错误。
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