Question

已知函数f（x）=Asin（ωx+?）（A＞0，ω＞0，|?|＜

π

2

）在一个周期内，当x=

π

6

时，y有最大值为2，当x=

2π

3

时，y有最小值为-2．
（1）求函数f（x）表达式；
（2）若g（x）=f（-x），求g（x）的单调递减区间．

Answer 1

分析：（1）根据题意，得A=2且函数的周期T=π，再将点(

π

6

，2)代入表达式，结合已知条件求出?=

π

6

，从而得到函数f（x）表达式；
（2）结合（1）的表达式，得g(x)=-2sin(2x-

π

6

)，结合正弦曲线的单调区间的公式，解关于x的不等式，即可得到函数g（x）的单调递减区间．

解答：解：（1）∵在一个周期内，当x=

π

6

时，y有最大值为2，当x=

2π

3

时，y有最小值为-2．
∴可得A=2，且函数的周期T=2（

2π

3

-

π

6

）=π，得ω=

2π

π

=2．-----------------------（4分）
把(

π

6

，2)代入f（x）=2sin（2x+?），得2•

π

6

+?=

π

2

+2kπ (k∈Z)
∴?=

π

6

+kπ (k∈Z)，结合|?|＜

π

2

取k=0，得?=

π

6

∴函数f（x）表达式为：f(x)=2sin(2x+

π

6

)．-----------------------（6分）
（2）结合（1）的表达式，得g(x)=2sin(-2x+

π

6

)=-2sin(2x-

π

6

)，-----------------------（8分）
由-

π

2

+2kπ≤2x-

π

6

≤

π

2

+2kπ，k∈Z-----------------------（10分）
得：-

π

6

+kπ≤x≤

π

3

+kπ，k∈Z
所以g（x）的单调递减区间为[-

π

6

+kπ，

π

3

+kπ ]，k∈Z．-----------------------（12分）

点评：本题给出y=Asin（ωx+φ）的部分图象，要求我们确定其解析式并求函数的单调减区间，着重考查了三角函数的图象、函数的周期与单调性等知识，属于基础题．