Question

【题目】已知函数在点处的切线方程为.

（1）求的值；

（2）已知，当时，恒成立，求实数的取值范围；

（3）对于在中的任意一个常数，是否存在正数，使得？请说明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2);(3)见解析.

【解析】分析：（1）求出导函数，根据导数的几何意义以及函数在点处的切线方程为，可得，进而可得结果；（2）令，问题转化为恒成立，利用导数研究函数的单调性，可得，∴，从而可得结果；（3）对于，假设存在正数，问题转化为，要存在正数使得上式成立，只需上式最小值小于0即可,利用导数研究函数的单调性，求出函数的极值与最值，可得存在正数，使得成立.

详解：（1）函数的定义域为，

∵，∴，

故函数在点处的切线方程为即

又已知函数在点处的切线方程为，

∴

∴

（2）由（1）可知，，

∵，∴，

即，令，

则，

∵，

∴，

∴，∴在为增函数

∴，

∴，∴

（3）对于，假设存在正数使得成立，

即，

∴

要存在正数使得上式成立，只需上式最小值小于0即可

令，则，

令，得；令，得；

∴为函数的极小值点，亦即最小值点，即函数的最小值为

令，则

∴在上是增函数，∴，

∴

∴存在正数，使得成立.