Question

设AB是椭圆的长轴，点C在椭圆上，且∠CBA=

π

4

．若AB=4，BC=

2

，则椭圆的焦距为（　　）

• A、

  3

  3

• B、

  2 6

  3

• C、

  4 6

  3

• D、

  2 3

  3

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，由已知条件推导出2a=4，点C的坐标为C（-1，1），由此能求出c=

2 6

3

，从而能求出椭圆的焦距．

解答：  解：如图，设椭圆的标准方程为

x2

a2

+

y2

b2

=1，
由题意知，2a=4，a=2．
∵∠CBA=

π

4

，BC=

2

，可设C（y₀-2，y₀），
∵B（-2，0），
∴

BC

=（y₀，y₀），
∴|

BC

|=

2

y0=

2

，解得y₀=1，
∴点C的坐标为C（-1，1），
∵点C在椭圆上，∴

(-1)2

4

+

12

b2

=1，
∴b²=

4

3

，
∴c²=a²-b²=4-

4

3

=

8

3

，c=

2 6

3

，
∴椭圆的焦距为

4 6

3

．
故选：C．

点评：本题考查椭圆的焦距的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．