Question

△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若C=2A，cosA=

3

4

，

BA

•

BC

=

27

2

，
（1）求cosB；
（2）求边AC的长．

Answer 1

考点：正弦定理,平面向量数量积的运算

专题：计算题,解三角形

分析：（1）由C=2A，得到cosC=cos2A，cos2A利用二倍角的余弦函数公式化简，将cosA的值代入求出cosC的值，发现cosC的值大于0，由A和B为三角形的内角，得到A和B都为锐角，进而利用同角三角函数间的基本关系求出sinA和sinC的值，最后利用三角形的内角和定理及诱导公式化简cosB，再利用两角和与差的余弦函数公式化简，将各自的值代入即可求出cosB的值；
（2）利用平面向量的数量积运算法则化简已知的等式

BA

•

BC

=

27

2

，由cosB的值，求出ac的值，由a，c，sinA和sinC，利用正弦定理列出关系式，将C=2A代入并利用二倍角的正弦函数公式化简，用c表示出a，代入ac=24中，求出c的值，进而得到a的值，最后由a，c及cosB的值，利用余弦定理即可求出b的值．

解答： 解：（1）∵C=2A，cosA=

3

4

，
∴cosC=cos2A=2cos²A-1=2×

9

16

-1=

1

8

＞0，
∵0＜A＜π，0＜C＜π，
∴0＜A＜

π

2

，0＜C＜

π

2

∴sinA=

1- 9 16

=

7

4

，sinC=

1- 1 64

=

3 7

8

，
∴cosB=cos[π-（A+C）]=-cos（A+C）
=-（cosAcosC-sinAsinC）=-（

3

4

×

1

8

-

7

4

×

3 7

8

）=

9

16

；
（2）∵

BA

•

BC

=

27

2

，
∴accosB=

27

2

，
∵cosB=

9

16

，
∴ac=24，
∵

a

sinA

=

c

sinC

=

c

sin2A

=

c

2sinAcosA

，
∴a=

c

2cosA

=

2

3

c，
由

a= 2 3 c ac=24

解得

a=4 c=6

，
∴b²=a²+c²-2accosB=4²+6²-2×24×

9

16

=25，
∴b=5，即AC=5．

点评：此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦、余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，诱导公式，两角和与差的正弦函数公式，以及平面向量的数量积运算法则，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．