Question

如图，点P是抛物线C：y＝x²上横坐标大于零的一点，直线l过点P并与抛物线C在点P处的切线垂直，直线l与抛物线C相交于另一点Q.

(1)当点P的横坐标为2时，求直线l的方程；

(2)若＝0，求过点P，Q，O的圆的方程．

Answer 1

解析：(1)把x＝2代入y＝x²，得y＝2，

∴点P的坐标为(2,2)．

由y＝x²，①

求导得y′＝x，∴过点P的切线的斜率k_切＝2.

∴直线l的斜率k₁＝－＝－.

∴直线l的方程为y－2＝－(x－2)，

即x＋2y－6＝0.

(2)设P(x₀，y₀)，则y₀＝x.

∵过点P的切线斜率k_切＝x₀，x₀≠0，

∴直线l的斜率k₁＝－＝－.

∴直线l的方程为y－x＝－(x－x₀)．②

设Q(x₁，y₁)，且M(x，y)为PQ的中点，

∵＝0，∴过点P，Q，O的圆的圆心为M(x，y)，半径为r＝|PM|，且x₀x₁＋y₀y₁＝x₀x₁＋xx＝0，

∴x₀x₁＝0(舍去)或x₀x₁＝－4.

联立①②消去y，得x²＋x－x－2＝0，

由题意知x₀，x₁为方程的两根，

∴x₀x₁＝－x－2＝－4.

又x₀＞0，∴x₀＝，y₀＝1.

∴x₁＝－2，y₁＝4.

∵M是PQ的中点，∴

r²＝(x－x₀)²＋(y－y₀)²＝，

∴过点P，Q，O的圆的方程为＝.