Question

已知a∈R，函数f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对于任意的a∈[-3，0]，x₁，x₂∈[0，2]，不等式m-am²≥|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的单调性

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）求导数f'（x），令f'（x）=0，得极值点，按两极值点的大小关系分三种情况进行讨论解不等式f'（x）＞0，f'（x）＜0可得单调区间；
（Ⅱ）对于任意的x₁，x₂∈[0，2]，不等式m-am²≥|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，等价于m-am²≥|f（x₁）-f（x₂）|_max，由（ I）易求f（x）的最大值、最小值，从而可得|f（x₁）-f（x₂）|_max，进而问题转化为对于任意的a∈[-3，0]，m-am²≥5-3a恒成立，构造关于a的一次函数g（a）=（m²-3）a-m+5，a∈[-3，0]，只需

g(-3)≤0 g(0)≤0

，解出即可；

解答： 解：（ I）f'（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-1）（x-a），
①当a＜1时，由f'（x）＞0，得x＜a或x＞1，由f'（x）＜0，得a＜x＜a，
∴f（x）的增区间为（-∞，a），（1，+∞），减区间为（a，1）；
②当a=1时，f'（x）=6（x-1）²≥0，
∴f（x）的增区间为（-∞，+∞）；
③当a＞1时，由f'（x）＞0，得x＜1或x＞a，由f'（x）＜0，得1＜x＜a，
∴f（x）的增区间为（-∞，1），（a，+∞），减区间为（1，a）．
（Ⅱ）对于任意的x₁，x₂∈[0，2]，不等式m-am²≥|f（x₁）-f（x₂）|恒成立，等价于m-am²≥|f（x₁）-f（x₂）|_max，
由（ I）可得，f（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，且f（0）=0，f（2）=4，
∴|f（x₁）-f（x₂）|_max=f（2）-f（1）=5-3a，
则问题转化为对于任意的a∈[-3，0]，m-am²≥5-3a恒成立，即对于任意的a∈[-3，0]，（m²-3）a-m+5≤0恒成立．
构造g（a）=（m²-3）a-m+5，a∈[-3，0]，只需

g(-3)≤0 g(0)≤0

，解得m∈[5，+∞）．
∴实数m的取值范围是[5，+∞）．

点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、在闭区间上的最值求解及恒成立问题，考查转化思想，考查学生分析解决问题的能力，属中档题．