Question

f（x）是定义域为R的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x（x-2）；若关于x的方程f²（x）-f（x）+t=0的方程有6个不相等的实根，求实数t的取值范围（　　）

• A、（0，

  1

  4

  ）
• B、（-∞，

  1

  4

  ）
• C、（-2，

  1

  4

  ）
• D、（-2，+∞）

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：根据函数的奇偶性求出函数的表达式，然后利用换元法将方程转化为关于m的一元二次方程，利用数形结合即可得到结论．

解答： 解：当x＜0时，-x＞0，
∵当x≥0时，f（x）=x（x-2）；
∴f（-x）=-x（-x-2），
∵f（x）是定义域为R的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
即f（-x）=-x（-x-2）=-f（x），
∴f（x）=-x（x+2），x＜0，
作出函数f（x）的图象如图：
设m=f（x），则当m＞1或m＜-1时，方程有1个根，
当m=1或m=-1时，方程有2个根，
当-1＜m＜1时，方程有3个根，
则f²（x）-f（x）+t=0等价为m²-m+t=0，
要使f²（x）-f（x）+t=0的方程有6个不相等的实根，
则等价为方程m²-m+t=0有两个不同的根且-1＜m＜1，
设g（m）=m²-m+t，对称性x=-

-1

2

=

1

2

，
则满足

△=1-4t＞0 g(1)=t＞0 g(-1)=2+t＞0

，
即

t＜ 1 4 t＞0 t＞-2

，∴0＜t＜

1

4

，
故选：A．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用，以及方程根的个数的应用，利用数形结合是解决本题的关键．