Question

设f(x)=6-

3

sin2x-6sin2x
（Ⅰ）求f（x）的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）若锐角α满足f(α)=3-2

3

，求tan

3α

5

的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）利用三角函数中的恒等变换应用可求得f（x）=3-2

3

sin（2x-

π

3

），利用正弦函数的单调性与最值及周期性可求得f（x）的最大值和最小正周期；
（Ⅱ）由f（α）=3-2

3

，可求得α=

5π

12

，从而可求得tan

3α

5

的值．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=6-

3

sin2x-6sin²x
=3-

3

sin2x+3cos2x
=-2

3

（

1

2

sin2x-

3

2

cos2x）+3，
=3-2

3

sin（2x-

π

3

），
∴f（x）的最大值为2

3

+3，最小正周期T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）由f（α）=3-2

3

，得3-2

3

sin（2α-

π

3

）=3-2

3

，
∴sin（2α-

π

3

）=1，
∵0＜α＜

π

2

，
∴-

π

3

＜2α-

π

3

＜

2π

3

，
∴2α-

π

3

=

π

2

，解得α=

5π

12

，
∴tan

3α

5

=tan

π

4

=1．

点评：本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦函数的单调性与最值及周期性，考查运算求解能力，属于中档题．