Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足a₁=2，b₁=1，

an= 3 4 an-1+ 1 4 bn-1+1 bn= 1 4 an-1+ 3 4 bn-1+1

（n≥2，n∈N^*）则（a₃+b₃）•（a₄-b₄）的值为

 

．

Answer 1

考点：数列递推式

专题：等差数列与等比数列

分析：根据递推式，一次求出a₂，a₃，b₂，b₃，a₄，b₄后代入即可解得．

解答： 解：∵a₁=2，b₁=1，

an= 3 4 an-1+ 1 4 bn-1+1 bn= 1 4 an-1+ 3 4 bn-1+1

（n≥2，n∈N^*）
∴a2=

3

4

×2+

1

4

×1+1=

11

4

，
b2=

1

4

×2+

3

4

×1+1=

9

4

，
∴a3=

3

4

×

11

4

+

1

4

×

9

4

+1=

29

8

，
b3=

1

4

×

11

4

+

3

4

×

9

4

+1=

27

8

，
∴a4=

73

16

，b4=

71

16

．
∴（a₃+b₃）•（a₄-b₄）
=(

29

8

+

27

8

)(

73

16

-

71

16

)
=

7

8

．
故答案为：

7

8

．

点评：本题考查数列递推式的应用和基本运算能力，属于基础题．