Question

已知（2-

3

x）⁵⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅₀x⁵⁰，其中a₀，a₁，a₂…，a₅₀是常数，计算（a₀+a₂+a₄+…+a₅₀）²-（a₁+a₃+a₅+…a₄₉）²．

Answer 1

考点：二项式系数的性质

专题：二项式定理

分析：在所给的二项展开式中，分别令x=1、x=-1，得到2个等式，再把这两个等式相乘，即可求得要求式子的值．

解答： 解：在（2-

3

x）⁵⁰=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₅₀x⁵⁰中，
令x=1可得a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₅₀ =(2-

3

)50 ①，
再令x=-1，可得a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₅₀ =(2+

3

)50 ②，
把①②相乘可得 （a₀+a₂+a₄+…+a₅₀）²-（a₁+a₃+a₅+…a₄₉）² =(2-

3

)50•(2+

3

)50=（4-3）⁵⁰=1．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，在二项展开式中，通过给变量赋值，求得某些项的系数和，是一种简单有效的方法，属于中档题．