Question

已知与圆C：x²+y²-2x-2y+1=0相切的直线l交x轴，y轴于A，B两点，|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．
（Ⅰ）求证：（a-2）（b-2）=2；
（Ⅱ）求线段AB中点的轨迹方程；
（Ⅲ）求△AOB面积的最小值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用,圆方程的综合应用

专题：综合题,直线与圆

分析：（Ⅰ）设直线方程，利用圆心到该直线的距离等于半径，建立方程，化简可得结论；
（Ⅱ）设AB中点M（x，y），则a=2x，b=2y，利用代入法，即可得出结论；
（Ⅲ）由（a-2）（b-2）=2得ab+2=2（a+b）≥4

ab

，结合三角形的面积公式，可求△AOB面积的最小值．

解答： （Ⅰ）证明：圆的标准方程是（x-1）²+（y-1）²=1，
设直线方程为

x

a

+

y

b

=1，即bx+ay-ab=0，
所以圆心到该直线的距离d=

|a+b-ab|

a2+b2

=1，
即a²+b²+a²b²+2ab-2a²b-2ab²=a²+b²，
即a²b²+2ab-2a²b-2ab²=0，
即ab+2-2a-2b=0，即（a-2）（b-2）=2．
（Ⅱ）解：设AB中点M（x，y），则a=2x，b=2y，
代入（a-2）（b-2）=2，得（x-1）（y-1）=

1

2

（x＞1，y＞1）．
（Ⅲ）解：由（a-2）（b-2）=2得ab+2=2（a+b）≥4

ab

，
解得

ab

≥2+

2

（舍去

ab

≤2-

2

），
当且仅当a=b时，ab取最小值6+4

2

，
所以△AOB面积的最小值是3+2

2

．

点评：本题考查直线与圆的位置关系，考查代入法求轨迹方程，考查基本不等式的运用，考查三角形面积的计算，属于中档题．